研究所筆記本: 模糊邏輯理論(fuzzy logic)

Fuzzy，中文翻譯為模糊，是指不精確、不清楚的意思。在我們所熟知且長期相處的真實世界中，其實普遍存在著各種模糊性現象，包括人類的語言、思維與決策等，皆存在有模糊和非定量化的特質。日常生活中，就常因為無法明確描述某個概念，導致溝通不良，例如：天氣的『冷熱』、聲音的『大小』、身體的『胖瘦』、速度的『快慢』等。有時硬要將不十分確定的現象，以二分法強行分類，反而可能產生錯誤的結論。
模糊理論的觀念，最早是由美國自動控制工程專家L.A. Zadeh分別在1965, 1973年引入模糊集合(Fuzzy sets)與模糊邏輯理論(fuzzy logic)的概念。此理論打破了傳統的二元邏輯觀念，然而當時的學者對於傳統集合理論有所堅持，因此模糊理論剛提出時，受到諸多批評，但此後的二十年間迅速發展，且結合其他多種理論成為一門新興的數學分支，有關的論文發表亦呈指數成長，於各領域之專論與應用上已達4000篇以上(Lee, 1990)，例如：信息處理、模糊邏輯系統的應用(Munakata and Jani, 1994)、控制系統(廣泛地應用在許多領域上)、圖形辨識、語音辨識、診斷程序、時間序列預測(Mendel, 2000)、智慧型機器人(Wu, 1996)、軟體工程、決策系統(Chaneau等人, 1987)、資料補償等。其相關應用也遍及農業、氣象、地質、環境、醫學、經濟等領域。台灣目前之研究，則是以電機、機械、資訊、控制等領域為主。
其他與模糊理論有關，可供作參考之論文與書籍包括：中文——「認識Fuzzy」(王, 2001)、「模糊數學方法與應用」(馮和樓, 1991)；英文——“Introduction to the theory of fuzzy subsets”(Kamfmann, 1976)、“Fuzzy set theory and its applications” (Zimmermann HJ, 1991)、“Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications”(Klir & Yuan, 1995)、「Neuro-Fuzzy and Soft Computing」(Jang等, 1997)、「Introduction to fuzzy sets, fuzzy logic, and fuzzy control systems」(Chen & Pham, 2001)、「Uncertain rule-based fuzzy logic systems」(Mendel, 2001)。
模糊理論強調許多事實的結果無法符合傳統的二元邏輯，並非在「是」與「非」之間選擇其一，而是介於是與非之間。因此，處理實際問題時，主要是將普通集合「非此即彼」的絕對隸屬關係加以擴充，即對集合的屬性不再以傳統集合之二分法來決定絕對性的真或偽，而是利用隸屬函數(Membership Function)的觀念，以具有某種程度的真實性來描述該集合之屬性，進而實現定量刻畫不確定性問題之模糊性質，因此對於敘述不清或狀況模糊之問題，提供了較合理可行的解決方式。
理論概述
 傳統集合
若元素

有集合

的特性時，

屬於

集合，可表示為

；反之，若元素

不具集合

的特性，則表示為

。以圖形表示：傳統集合(圖1)是指集合在一明確的定義範圍內所包含的數值，如

：(圖2)非常明確地定義出

的值如小於2，則

屬於A集合，如

不小於2(即使

等於2)，則不屬於A集合，或以(1)式表示：

圖1. 傳統集合非 0 即 1與其分界

圖2. 傳統集合非 0 即 1 的表示法
式中U表示全體集合稱為宇集合，表示在A集合或不在A集合的表示值(0或1)，如圖2所示，為if and only if縮寫。因此，傳統集合的邊界有著非常明確而嚴格的界線，定義著兩個集合的區隔(即，或)。
若是集合為集合的一部分，可用來表示。舉例而言，若代表0到100歲的年齡範圍，且定義集合為35到55歲的「中年」，則。但是在實際狀況下，若有一人為34歲，另一人35歲，兩人相差1歲，但一人屬於中年，另一人則否；另有二人，一為35歲而另一為55歲，二人雖差20歲但同屬中年，直覺判斷即不合理(林信成、彭啟峰, 1994)。
 模糊集合
模糊集合可視為傳統集合的擴展，在模糊集合的觀念裡，是將鮮明而嚴格的界線模糊化，也就是二個集合的區隔不再如此明顯，而是形成一種漸層的變化，用來表示界限或邊界不分明的具有特定性質事物的集合，如圖3所示，意即隸屬於A集合到不屬於A集合的中間包含著過渡區域。

圖3. 模糊集合與其漸層變化的邊界
因此，我們定義模糊集合如(2)式：

式中表示0到1之間的函數，如圖4所示，此時稱為A集合的隸屬函數或特徵函數(characteristic function)，表示x在A集合的隸屬度(degree of membership)，即元素x屬於模糊集合A之程度，並在0~1之間取值，用來表示此元素歸屬於各個集合程度的強弱。若一個元素屬於某集合的程度越大，則其隸屬度越接近1，反之則越接近0。因此，可將一般集合中特徵函數的觀念，擴展成為模糊集合中的隸屬函數觀念。

圖4. 模糊集合的隸屬函數
針對傳統集合對於一些問題無法作正確描述，模糊集合則提供了有效的解決方式。以圖5為例，將傳統集合與模糊集合分別繪出其隸屬函數圖比較，可看出以模糊集合所代表的「中年」較符合人類平常的思維模式。

圖5. 傳統集合與模糊集合隸屬度函數比較圖