時間序列分析

時間序列分析
所謂時間序列(Time Series)係指以時間先後順序型態出現之一連串觀測值集合，也就是對某種動態系統隨時間連續觀測所得到之觀測值集合。例如我們所觀測到的水文資料，無論是雨量或流量，亦無論其觀測時距大小，均為隨時間變化所觀測到的水文現象，稱之為「水文歷程」，亦稱之為水文時間序列。
時間序列分析(Time series analysis)一般可分為頻域(Frequency domain)分析法及時域(Time domain)分析法二種。頻域分析法肇始於十七世紀牛頓觀測太陽光，利用傅立葉轉換(Fourier transform)分析光譜訊號之方法，後人又稱為頻譜分析(Spectrum analysis)，主要係探討時間序列資料中隱藏之週期，並將相關頻譜圖形上出現之雜亂現象，以過濾方式去除。而時域分析法係以相應之參數化數學模式，近似描述時間序列資料，並進而由其相關統計特性進行預測(Forecast)及繁衍(Generate)未來之時間序列。

時間序列分析於1960年代初期始正式應用於水文及水資源領域，包括Thomas 與 Fiering (1962)及Yevjevich (1963) 應用之自迴歸(Autoregressive)模式，及Box與Jenkins於1970年代提出之ARIMA (Autoregressive-Integrated-Moving Average)模式，而其後數十年間有更多之相關研究提出其他不同時間序列模式。
下圖為時間序列分析在水文學之研究方式中所扮演之角色：

ARIMA模式
ARIMA模式包括自迴歸(AR)、積分(I)及移動平均(MA)三部分，分述如下：
(1) 移動平均(MA)
我們可將一時間序列模型定義為

其中 ，由上式可以看出在當期的值受到過去q期白噪音之影響，計算此MA Model之自我共變數 及自我相關係數(ACF) ，發現其有截斷之性質，亦即MA(q)之ACF於期差q之後被截斷。因此在應用上，若有一連串的時間序列資料，可依其ACF值之性質判斷是否為MA Model，又階數為何。

(2) 自迴歸(MA)
我們可將一時間序列模型定義為

其中 ，由上式可以看出在當期的值受到過去p期所發生之值與當期白噪音影響，可見得當期與前p期之變數均來自同一隨機過程，計算此AR Model之自我共變數 及自我相關係數(ACF) ，發現其有尾隨消失之性質。於應用上不便藉此判斷階數，在鑑定時需要另外的工具，「偏自我相關係數(PACF)」即可對於AR Model具截斷特性，亦即AR(p)之PACF於期差p之後被截斷，類似於MA Model的ACF性質。

(3) 自迴歸積分移動平均模式(ARIMA)
我們可將一時間序列模型定義為

，其中，而稱為自我迴歸參數，稱為移動平均參數，此模型混合了前面兩個單純模型，由於當期的值受到前面期數以發生及獨立同態的白噪音交相影響，可以料想其ACF十分複雜，經由推導得知一ARMA(p,q)模型中，在k q+1之後，其形式便與AR(p)相同。