Lagrange 乘數法

Lagrange 乘數法Lagrange Multiplier Method
摘自http://episte.math.ntu.edu.tw/首頁 搜尋 註釋

Lagrange（拉格朗日，1736～1813）18世紀最偉大的數學家之二，另一位是長他29歲的 Euler（尤拉，1707～1783）。Euler 賞識 Lagrange，在1766年和 d'Alembert 一起推薦 Lagrange 為（柏林科學院）Euler 的繼承人。
在他一生浩瀚的工作中，最為所有數學家熟知的發明就是 Lagrange multiplier（拉格朗日乘數）或 Lagrange multiplier method，這是一個求極值的方法。比方在兩個變數的時候，我們要找 f(x,y) 的極值，一個必要的條件是：

但是如果 x,y 的範圍一開始就被另一個函數 g(x,y)=0 所限制，Lagrange 提出以 對 x 和 y 的偏導數為 0，來代替 作為在 g(x,y)=0 上面尋找 f(x,y) 極值的條件。式中引入的 λ 是一個待定的數，稱為乘數，因為是乘在 g 的前面而得名。
首先我們注意，要解的是 x,y 和 λ 三個變數，而

雖然有三個方程式，原則上是可以解得出來的。
以 f(x,y)=x， g(x,y)=x2+y2-1 為例，當 x,y 被限制在 x2+y2-1=0 上活動時，對下面三個方程式求解

答案有兩組，分別是 x=1，y=0， 和 x=-1，y=0， 。對應的是 x2+y2-1=0 這個圓的左、右兩個端點。它們的 x 坐標分別是 1和 -1，一個是最大可能，另一個是最小可能。
讀者可能認為為何不把 x2+y2-1=0 這個限制改寫為 、 來代入得到 ，然後令對 θ 的微分等於 0 來求解呢？對以上的這個例子而言，當然是可以的，但是如果 g(x,y) 是相當一般的形式，而無法以 x,y 的參數式代入滿足，或是再更多變數加上更多限制的時候，舊的代參數式方法通常是失效的 註1 。
這個方法的意義為何？原來在 g(x,y)=0 的時候，不妨把 y 想成是 x 的隱函數，而有 g(x,y(x))=0，並且 f(x,y) 也變成了 f(x,y(x))。令 根據連鎖法則，我們得到

和（因為 恆等於 0）

因此有行列式為 0 的結論。

這表示 fx,fy 和 gx,gy 成比例，所以有 λ 註2

另外一個解釋是幾何圖形的角度來考量。我們考慮 f(x,y) 的等位曲線，亦即 f(x,y)=c 諸曲線，如果曲線 f(x,y)=c 與 g(x,y)=0 互相穿過，亦即如果互不相切，則 f(x,y) 稍稍大於 c（或稍稍小於 c）都會持續穿過 g(x,y)=0，這就表示在 g(x,y)=0 之上，c 不可能是一個極值，反過來說，如果 c 是極值的話，f(x,y)=c 這條曲線和 g(x,y)=0 一定互相切著，會有相同的切線，也可以說有相同的法線。但是 f(x,y)=c 和 g(x,y)=0 的法線方向分別是 和 ，它們必須平行，因此

λ 待定。從這裡也可以看出萬一 那 λ 多半是求不出來的。然而 恰好保證了 y 是 x 或 x 是 y 的隱函數，這又回到了上一段以隱函數為出發點來解釋乘數法的前提。
乘數法有許多用處，舉凡在若干限制條件之下求極值的問題，都可以考慮引用這個方法。當然如前所述，引用本法雖然有若干限制，這些限制反映了問題本身的特質，本來就是問題的一部分，值得好好推敲。
Lagrange 一生貢獻無數，Boyer 註3 讚美他是
... the keenest mathematician of the eighteenth century ... （十八世紀最敏銳的數學家）
他所發明的乘數法展現了他對這類問題敏銳的洞察力。這正是 "keenest" 最佳的詮釋。